國家教育研究院電子報 / 出版品「國民中小學數學教師專業成長影集

出版品「國民中小學數學教師專業成長影集—因數與倍數篇」簡介

| 劉君毅

【文 / 教育資源及出版中心助理研究員劉君毅】【圖 / 光碟封面】

國民中小學數學教師專業成長影集光碟，是本院「國民中小學數學教師專業成長數位課程研發與應用之研究」計畫產出成果之一。本系列影片的特色在針對各數學主題，依據國中小1~9年級教材出現的順序，進行教學主題的完整知識脈絡架構解說，透過現場教學片段畫面作為示例，輔助觀眾理解教學過程，對於教師常遇見的教學問題及學生常有的反應，也詳細舉例並討論，並特別標出了學生在學習時容易迷失的概念，以提醒教學者注意。觀看此系列影片，對於協助職前教師了解數學教材內容以及促進在職教師進行專業成長，都能提供實質的幫助。

本集發行主題為「因數與倍數篇」。因數與倍數問題是探討整數的數量關係中很重要的課題之一，在國小低年級階段，學童多以加法的角度看一個數字的組成，到了高年級，數學課程開始引入因、倍數的概念，幫學生帶入以乘法的角度重新看一個數字的組成。本影片循此發展歷程，將因數與倍數的教學，分成三大部分引導：一、因數與倍數的意義及概念發展；二、因數的教學；三、倍數的教學。每一部份再就概念的從屬關係加以支分，層層析述，以便觀眾能從中了解概念脈絡，釐清教學重點。

在第一段關於「因數與倍數的意義及概念發展」中，相關內容再分為：(一)因數與倍數的意義；(二)因數與倍數的關係；(三)列舉法與質因數分解法等子題說明。以介紹「因數與倍數的意義」為例，影片將從因數的意義、倍數的意義、因數引入的教學與教學迷思，以及倍數引入的教學與教學迷思等四個部分探討因、倍數意義及教學上需注意的問題。

以下就第一部份介紹因數的意義為例，略舉影片中對此教學概念的鋪陳：因數與倍數討論的範圍都是正整數，其中因數問題源自於整除，討論以哪些正整數為單位，而以它的整數倍表示一個已知正整數。例如，有一個正整數10，用1、2、5、10為單位，可以整數倍的表示10，所以1、2、5、10都是10的因數。而倍數問題則源自乘法的結果，是以一個正整數為單位，可以整數倍的生成一些正整數。例如，以10為單位，可以整數倍的得到10、20、30、40等，所以，10、20、30、40都是10的倍數。至於在國小階段教師要如何引入因數的教學？因為因數問題比較抽象，應多布一些不同情境的文字題，幫助學生察覺一個數可以由哪些數的整數倍合成之後，再引入因數教學較為恰當。

關於因數的教學迷思方面，舉出兩個常見的問題來探討，例如：(一)到底該用乘法或除法來定義因數，哪一個比較恰當？很多老師一開始容易陷入問題的迷霧中，當看完影片的說明後，就可以對此問題有比較清楚的體會：大多數國小五年級學生都能掌握整數情境的乘除互逆，因此，也可以透過乘法『2×6＝12，而且12、2和6都是整數』，來定義2是12的因數。由於剛開始學習因數時，數字都不會太大，很容易透過九九乘法找出因數，因此，教師會認為利用乘法來找因數比較方便。但是，當給定的數字較大時，就無法透過乘法找出因數，例如：學生很難用乘法找出221的因數，卻可以透過除法嘗試錯誤的方式，找出13和17是221的因數。因此，我們可以了解到透過除法來定義因數會比較恰當。

還有另一個需了解的問題：(二)談因數就必須先了解什麼是「整除」。例如：有些教材將因數定義作「2能整除12，所以2是12的因數」，教師在教學時應特別澄清「整除」的意義--當被除數、除數與商數皆是整數的情況，而且餘數為零時，才可以稱為「整除」。例如，「2÷0.1＝20」中的商數20是整數，但是我們不能稱2被0.1整除，因為0.1不是整數，又如「3÷2＝1.5」，其中被除數、除數為整數，餘數為0，但是商不是整數，所以我們不能稱3被2整除。

以上僅就影片中第一個部分舉例片段介紹，若想了解更多因數與倍數教學問題，乃至於學生進入國中以後銜接學習的質因數分解法等，於本影片中都有詳細介紹並舉實例說明。因數與倍數教學跨越了國小高年級與國中階段，為了幫助學童學好此課題，教師們宜分別對兩個學習階段的教材內容多加了解，本影片在此部分將可扮演有效、簡便、快速的輔助角色。

本影片各段落內容如下：

一、因數與倍數的意義及概念的發展

（一）因數與倍數的意義

1、因數的意義

2、倍數的意義

3、因數引入的教學與教學迷思

4、倍數引入的教學與教學迷思

（二）因數與倍數的關係

（三）找因數的方法

1、列舉法

2、質因數分解法

二、因數的教學

（一）列舉法

1、找出一個整數的所有因數

2、找出兩個整數的所有公因數及最大公因數

3、找出三個整數的最大公因數

（二）質因數分解法